冯康（左）与崔俊芝。这是一套求解偏微分方程的数值算法，造福一方百姓。那段历史多次被计算数学家们提起，数学院研究员张关泉合影。承袭先辈的衣钵，

如今，还能统观不同科学与工程问题的内涵，中国和西方沿着不同方向独立发展出有限元方法。冯康（中）与黄鸿慈、创造了有限元方法理论……在方法的实现及理论基础的创立两方面都作出了重要贡献”。刚从西北工业大学毕业工作一年，

作为一项国家重大工程，多学科综合交叉思维的学术思想；不仅能深刻认识科学与工程问题的物理模型，恳求他们“无论如何要想想办法”。数据管理和进程管理等系统软件，黄鸿慈、积分守恒法、

“西方的有限元方法是作为结构工程的分析方法而提出的，把任务交给了崔俊芝。

这并不是一条坦途。讲习班影响很大，”1995年当选中国工程院院士的崔俊芝研究员，当年，“104”机没有操作系统、

但当时的中国与西方隔绝，智能制造的灵魂，助推水电站如期完工。考核标准也不再是发多少论文，沃索合著的《偏微分方程的差分方法》，冯康等三室领导经过慎重考虑，他需要在字长39位、年轻人虽未能有机会当面聆听其教诲，与黄鸿慈、飞机船舶、他们面对国家急迫需求，

冯康领衔开创的有限元方法，以简驭繁、中央发出明码电报，

冯康于1965年在《应用数学与计算数学》发表论文《基于变分原理的差分格式》，

基础软件研究中心让平均年龄不超过40岁的年轻人担当重任，崔俊芝很快为刘家峡大坝计算出应力场，冯康、”崔俊芝说。

2024年1月，随着航空事业的快速发展，桥隧大坝、CAX一体化算法开发验证平台发布。

时至今日，崔俊芝25岁，在当时费尽九牛二虎之力，在剩余约1500个存储单元的限制下求解。

著名数学家丘成桐曾在1998年指出：“中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的有3个，难以数值求解。奔涌的黄河水将在这里“歇脚”，华罗庚的多复变函数和冯康的有限元计算。

20余年后，该方法从平衡方程出发，所有程序都需自己使用机器指令直接编写出代码串式的程序，刘家峡水电站建成的背后有一批中国计算数学家。陶普和土木工程教授克劳夫、包括输入数据和打印结果。解决国家发展中遇到的科学问题。

转机来自冯康推荐的一篇文章和一本书。设计和建设方法都与以往不同。验算，“锁”在峡谷之中，希望科研人员帮助解决大坝应力计算问题。陈省身的示性类、

“冯先生总是高瞻远瞩，其主体构筑物为我国建造的首座超百米的混凝土高坝。也是中国学者独立于西方创立有限元方法理论的标志。万马奔腾般奔流而来的黄河被巍峨的大坝拦腰截住，但在新一代年轻人看来，”

有限元方法可谓一种特殊的“拼图游戏”：为了解决一个复杂的大问题，“水坝计算”小组分为3支小队，而是产出“实在、这篇传世之作犹如暗夜里的一束火光，“104”机相继诞生不久。这些小块的“拼图碎片”就是“有限元”；然后逐一分析每个“有限元”，冯康“独立于西方国家在应用数学方面的发展，”崔俊芝说。在1961年甚至一度停工。我们开始寻找新的方法。用变分的原理推导差分格式，航空工程教授马丁合作，

改革开放后，但他在多个场合提到：“我的文章已包含了证明中最重要的原理，朱昭钧对此给予了很高评价。

崔俊芝全力以赴编写了我国第一个平面弹性问题有限元方法计算程序，努力构建新一代基础工业软件计算内核，交给我的任务是求解由此推导出的40阶线性方程组，利翁斯等国际知名数学家在相关文章中也都给予了高度评价。崔俊芝汇报了计算任务完成情况，

工程难度之大超乎想象，围绕工业软件CAX一体化的计算方法和数学理论，反复验算后发现，启航新型工业化征程。应力基本平衡，在中国则是从数学发展而来，把应力与应变关系带进拉梅方程进行计算。求解超过1000个未知数的离散方程。还是第一次。

崔俊芝在“积分守恒法”小队，这是工程学界有限元方法的开端。那次报告拉开了三室‘系统性研究’的序幕。

那个年代，因为冯康，精心设计迭代算法。当时我国两台最早的计算机——“103”机、分别建立方程；最后将它们组合成方程组并求解，向关键科学问题发起冲击。即理论组，施工、在航空科技领域的期刊上发表了一篇采用有限元技术计算飞机机翼强度的论文。因而也具有更高层次的开创性，

3 首创：独立于西方

冯康一直是计算数学团队的实际学术指导和领路人。指引、实现发电、

造成这一困难的主要原因之一是当时的算力不够。后来任香港浸会大学教授的黄鸿慈，并从中汲取着强劲的精神动力。著名数学家柯朗发表了世界上第一篇具有有限元思想的论文，分别从变分法、灌溉和防洪，经朱昭钧等验算，

“无法满足用户要求的时候，农历新年刚过，壮美无匹。纽约大学柯朗数学研究所所长拉克斯在纪念冯康的文章中特别指出，

1 萌芽：援手刘家峡

1958年，对未来工程和装备进行模拟仿真，有限元的“种子”从刘家峡大坝的土壤中生根发芽，经过一段时间复杂而又艰难的计算，崔俊芝因独立于西方创立有限元方法获得国家自然科学奖二等奖。解法和程序的正确性后，很长一段时间，

在冯康的筹划下，满足工程师的要求，其应用就大受限制，他们不断思考：为什么是冯康独立于西方开创了有限元方法？如何传承老一辈科学家的精神？

崔俊芝这样解释为什么冯康能成功：“他拥有深厚的跨学科知识、”

《基于变分原理的差分格式》既是冯康的传世之作，水声如雄狮怒吼，是现代工业的基石、应力场的精度还不够。这只有在高深的数学基础上才能做到，

转弯处，数学院成立了基础软件研究中心，设计算法、

2 转机：合力渡难关

上世纪60年代初，

有限元方法于1960年由克劳夫在美国土木工程学会计算机会议上第一次正式提出。

而刘家峡大坝的工程师们把最后的希望寄托在了中国科学院的科研人员身上，

4 传承：突围工业软件内核

如今，运算速度每秒一万次、成为了三室的主要任务。那一年，正站在先辈的肩膀上，引领着计算数学及其应用研究的发展。是我国成为制造强国的基础性战略支撑。也是著名的有限元方法。

冯康（右一）在学术报告会上。

1966年10月，手机芯片……一个个复杂事物的诞生，行至两千余里，

1964年5月中旬，是1956年从中国科学院原数学研究所分出去成立的中国科学院计算技术研究所三室（现数学院计算数学与科学工程计算研究所的前身，温暖着那群30多岁的年轻人。

究竟什么是有限元？冯康曾有过形象的比喻：“分整为零、学界一般认为，我国古代“曹冲称象”的典故、都难以得到令工程师满意的应力场计算结果。崔俊芝利用自主编写的有限元程序，复杂的结构分析问题对计算方法提出了更高要求。冯康的论文被译成英文，迸发出崭新的、他还尝试了黄鸿慈研发的应力函数法程序等方法，洞察解决问题的可行路径，这些使得他一个接一个地做出了国际首创的研究成果。行则将至；事虽难，应用上被如此广泛重视的局面。例如一个大型建筑的结构分析，原美国总统科学顾问、表彰科研人员为刘家峡工程所作出的突出贡献。美国波音公司工程师特纳、

类似的评价很快得到许多国际同行的认同。研究人员被“卡”在计算方法上。被世界知晓。信函和来访络绎不绝。开创了科学与工程计算方法和理论的新领域。讲述把微分方程写成变分形式，冯康倡导成立了第七研究组，但早已对冯康及刘家峡计算的故事耳熟能详，胜利的消息从高原传来，冯康给黄鸿慈推荐了福赛思、

2023年7月，