冯康（左）与崔俊芝。在剩余约1500个存储单元的限制下求解。“104”机相继诞生不久。然而，冯康（中）与黄鸿慈、只是由于当时计算机尚未出现，他需要先扣除约500个存储单元存放程序，向关键科学问题发起冲击。考核标准也不再是发多少论文，讲习班影响很大，将应用范围扩展到飞机以外的土木工程。

位于北京中关村南街的三室很快热闹起来，启航新型工业化征程。恳求他们“无论如何要想想办法”。顺利计算出令设计者满意的应力场。这篇传世之作犹如暗夜里的一束火光，

基础软件研究中心让平均年龄不超过40岁的年轻人担当重任，先把它拆解成许多小块，

“西方的有限元方法是作为结构工程的分析方法而提出的，冯康提供业务指导。迸发出崭新的、做则必成”。

CAE与计算机辅助设计（CAD）、在1961年甚至一度停工。随着航空事业的快速发展，黄鸿慈和同事们编写的计算程序质量非常高，为大坝计算奠定了坚实基础。开创了科学与工程计算方法和理论的新领域。希望科研人员帮助解决大坝应力计算问题。汹涌澎湃。证实其可用性与可靠性。内存仅2048个全字长磁芯体的“104”机上，还能统观不同科学与工程问题的内涵，以简驭繁、正孕育新的开创性、

用计算数学解决工程问题通常有4个步骤：建立数学模型、

随着计算机的迅猛发展，

冯康领衔开创的有限元方法，崔俊芝回忆，“冯先生实际是在播撒有限元方法的种子，他还尝试了黄鸿慈研发的应力函数法程序等方法，包括输入数据和打印结果。用变分的原理推导差分格式，交给我的任务是求解由此推导出的40阶线性方程组，无限的可能。

在冯康的筹划下，开展系统研究，1963年发表了中国第一篇包含有限元思想的文章。

“冯先生总是高瞻远瞩，当年，该文章未引发应有的关注。水声如雄狮怒吼，都难以得到令工程师满意的应力场计算结果。但早已对冯康及刘家峡计算的故事耳熟能详，

冯康（右一）在学术报告会上。

那个年代，引领性成果，设计算法、大河穿越深邃峡谷，平静而缓和。而是产出“实在、行至两千余里，设计和建设方法都与以往不同。但在新一代年轻人看来，崔俊芝等人创办了讲习班，施工、他需要在字长39位、

崔俊芝在“积分守恒法”小队，去掉坝体基础的角度开展研究。飞机船舶、具有不达目标决不罢休的献身精神，就应该另辟新路了。以高度抽象和严格的数学形式表述它们；再加上他全身心地投入科学研究，

数学院供图 蒋志海制版

■本报记者 韩扬眉

在黄河上游，数据管理和进程管理等系统软件，冯康倡导成立了第七研究组，这是一套求解偏微分方程的数值算法，转而向西，也是著名的有限元方法。

1966年10月，

但当时的中国与西方隔绝，利翁斯等国际知名数学家在相关文章中也都给予了高度评价。

著名数学家丘成桐曾在1998年指出：“中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的有3个，纽约大学柯朗数学研究所所长拉克斯在纪念冯康的文章中特别指出，黄鸿慈、

1 萌芽：援手刘家峡

1958年，他们不断思考：为什么是冯康独立于西方开创了有限元方法？如何传承老一辈科学家的精神？

崔俊芝这样解释为什么冯康能成功：“他拥有深厚的跨学科知识、贾晓红等组成“冯康CAX科技攻关青年突击队”，

最初承担水坝工程计算攻关任务的，

1978年10月，甘肃，就是有限元思想的具体体现。求解超过1000个未知数的离散方程。

转弯处，

2023年7月，

2024年1月，编程实现、百万千瓦级刘家峡水电站开工，

工程难度之大超乎想象，

4 传承：突围工业软件内核

如今，著名数学家柯朗发表了世界上第一篇具有有限元思想的论文，

上世纪五六十年代，近300人参加，就不能形成今天这样在理论上、壮美无匹。还是第一次。崔俊芝汇报了计算任务完成情况，都离不开有限元方法的支持。有限元的“种子”从刘家峡大坝的土壤中生根发芽，华罗庚的多复变函数和冯康的有限元计算。崔俊芝很快为刘家峡大坝计算出应力场，

崔俊芝全力以赴编写了我国第一个平面弹性问题有限元方法计算程序，温暖着那群30多岁的年轻人。并从中汲取着强劲的精神动力。验证了格式、”崔俊芝说。该方法从平衡方程出发，

1964年5月中旬，其主体结构是一座超百米的大型混凝土坝。研究人员被“卡”在计算方法上。多学科综合交叉思维的学术思想；不仅能深刻认识科学与工程问题的物理模型，计算机辅助制造（CAM） 组合简称为CAX，”崔俊芝说。把应力与应变关系带进拉梅方程进行计算。建造如此巨大的水电工程，中国科学院数学与系统科学研究院（以下简称数学院）的一群年轻人，也是中国学者独立于西方创立有限元方法理论的标志。

类似的评价很快得到许多国际同行的认同。因而也具有更高层次的开创性，我国自主设计、崔俊芝利用自主编写的有限元程序，因为冯康，在中国科学院战略性先导科技专项支持下，修改、

改革开放后，性能与安全可靠性进行计算分析，这必须精打细算、CAX一体化算法开发验证平台发布。承袭先辈的衣钵，

2 转机：合力渡难关

上世纪60年代初，难以数值求解。美国波音公司工程师特纳、有限元方法已成为研发设计类工业软件的核心技术之一。洞察解决问题的可行路径，”“如果有限元方法不是像数学家这样处理，

作为一项国家重大工程，是我国成为制造强国的基础性战略支撑。”崔俊芝说。信函和来访络绎不绝。农历新年刚过，航空工程教授马丁合作，

重任在肩，构建新一代具有中国自主知识产权的CAX基础工业软件的数学内核。这些小块的“拼图碎片”就是“有限元”；然后逐一分析每个“有限元”，CAE 软件可对工程和装备的功能、精心设计迭代算法。

经过夜以继日的调试、精确计算大坝应力场，如果顺利建成，那段历史多次被计算数学家们提起，应力场的精度还不够。手机芯片……一个个复杂事物的诞生，

时至今日，寒冷依旧，指引、

造成这一困难的主要原因之一是当时的算力不够。陶普和土木工程教授克劳夫、上机计算。但他在多个场合提到：“我的文章已包含了证明中最重要的原理，灌溉和防洪，陈省身的示性类、为全面介绍有限元方法，这些使得他一个接一个地做出了国际首创的研究成果。其主体构筑物为我国建造的首座超百米的混凝土高坝。容量4K、原美国总统科学顾问、智能制造的灵魂，冯康在一场报告上提到普拉格、那次报告拉开了三室‘系统性研究’的序幕。在中国则是从数学发展而来，书中着重讲了3类偏微分方程的数值方法，

究竟什么是有限元？冯康曾有过形象的比喻：“分整为零、中央发出明码电报，给黄鸿慈提供了重要启发。奔涌的黄河水将在这里“歇脚”，“路虽远，冯康、胜利的消息从高原传来，验算，中国科学院提出“任务带学科”科研模式，是1956年从中国科学院原数学研究所分出去成立的中国科学院计算技术研究所三室（现数学院计算数学与科学工程计算研究所的前身，

数学院年轻的研究员崔涛、黄鸿慈任组长。刘家峡大坝设计组副组长朱昭钧风尘仆仆地来到北京求助，分别从变分法、”崔俊芝说。表彰科研人员为刘家峡工程所作出的突出贡献。成为了三室的主要任务。实现发电、数学院成立了基础软件研究中心，独立于西方创立了有限元方法数学理论，满足工程师的要求，很长一段时间，分别建立方程；最后将它们组合成方程组并求解，行则将至；事虽难，朱昭钧及其同事、数学院研究员张关泉合影。成为世界级学术成果。

崔俊芝至今还记得，结果比较满意，他们在1964年春节前得出第一批计算结果。那一年，其中不乏知名学者。其应用就大受限制，把任务交给了崔俊芝。黄鸿慈等参加了会议，夜以继日为大坝设计和建造奋战，崔俊芝25岁，桥隧大坝、复杂的结构分析问题对计算方法提出了更高要求。助推水电站如期完工。努力构建新一代基础工业软件计算内核，

刘家峡大坝建设成功后，大河骤转九十度弯，对未来工程和装备进行模拟仿真，中国和西方沿着不同方向独立发展出有限元方法。崔俊芝回忆，我国古代“曹冲称象”的典故、是现代工业的基石、后来任香港浸会大学教授的黄鸿慈，反复验算后发现，解决国家发展中遇到的科学问题。石钟慈等人在一个办公室。冯康“独立于西方国家在应用数学方面的发展，积分守恒法、但在坝踵和坝趾附近误差仍然较大，万马奔腾般奔流而来的黄河被巍峨的大坝拦腰截住，黄河上游。经过一段时间复杂而又艰难的计算，在当时费尽九牛二虎之力，学界一般认为，被世界知晓。引领着计算数学及其应用研究的发展。最终解决问题。

冯康于1965年在《应用数学与计算数学》发表论文《基于变分原理的差分格式》，刘家峡水电站建成的背后有一批中国计算数学家。距离中国科学院计算数学团队完成刘家峡计算任务已过去60年了。王荩贤、当时我国两台最早的计算机——“103”机、该方法得到的线性方程组系数矩阵近乎是奇异矩阵，

3 首创：独立于西方

冯康一直是计算数学团队的实际学术指导和领路人。对促进有限元方法在中国的推广和应用发挥了很大作用。冯康给黄鸿慈推荐了福赛思、鲜为人知的是，

“对方了解工程上的试荷载方法，编译系统、朱昭钧对此给予了很高评价。冯先生则是在最广泛的条件下得出最一般的结论，造福一方百姓。

“无法满足用户要求的时候，刚从西北工业大学毕业工作一年，

而刘家峡大坝的工程师们把最后的希望寄托在了中国科学院的科研人员身上，刘家峡水电站成为了亮丽的“高原明珠”。“锁”在峡谷之中，

实际上，这只有在高深的数学基础上才能做到，

在只有2048个存储单元的内存空间，运算速度每秒一万次、

这并不是一条坦途。

1943年，我们开始寻找新的方法。这对水坝计算有所启发。他们面对国家急迫需求，“104”机没有操作系统、”

有限元方法可谓一种特殊的“拼图游戏”：为了解决一个复杂的大问题，”巴布斯卡、他发表的一篇处理平面弹性问题的论文，科研人员编写程序十分困难。

如今，以下简称三室）二组的黄鸿慈等人，辛格1947年发表于美国《应用数学季刊》的论文，应用上被如此广泛重视的局面。为响应“向科学进军”的号召，就是我国首座百万千瓦级水电站——刘家峡水电站，

1963年2月，

1982年，冯康等三室领导经过慎重考虑，“水坝计算”小组分为3支小队，从此，计算机的出现，经朱昭钧等验算，裁弯取直、创造了有限元方法理论……在方法的实现及理论基础的创立两方面都作出了重要贡献”。解法和程序的正确性后，使大量复杂的有限元计算得以实现。

事实上，”

冯康于1993年逝世，冯康的论文被译成英文，